Poté, co matematici prolomili hádanku „součtu kostek“ pro 42 let, vyřešili obtížnější problém, který desítky let přemohl odborníky.

21místné řešení desetiletí starého problému naznačuje, že existuje mnohem více řešení.

Co děláte poté, co vyřešíte odpověď na život, vesmír a všechno? Pokud jste matematici Drew Sutherland a Andy Booker, jděte na složitější problém.

V roce 2019 Booker na Bristolská univerzitaa Sutherland, hlavní vědecký pracovník S, byli první, kdo našli odpověď na 42. Toto číslo má popkulturní význam jako fiktivní odpověď na „konečnou otázku života, vesmíru a všeho“, jak uvádí Douglas Adams ve svém románu „Stopařův průvodce po Galaxii.“ Otázka, kterou přinejmenším v románu 42 vyvolává, je frustrující. podivně neznámý.

V matematice existuje zcela náhodná polynomiální rovnice, pro kterou odpověď 42 matematikům unikla po celá desetiletí. Rovnice x3. místo+ a3. místo+ s3. místo= k je známé jako součet kostek. I když je rovnice zdánlivě jednoduchá, její řešení je exponenciálně obtížné, když je prezentována jako „diofantická rovnice“ – problém, že pro každou hodnotu k musí být hodnoty pro x, y a z celá čísla.

Když je součet krychlových rovnic takto orámován pro určité hodnoty k, celočíselná řešení pro x, yaz mohou narůst na enormní čísla. Rozsah čísel, která matematici musí tato čísla hledat, je ještě větší a vyžaduje komplikované a rozsáhlé výpočty.

V průběhu let se matematikům podařilo vyřešit rovnici různými způsoby, buď nalezením řešení, nebo určením, že řešení nesmí existovat, pro jakoukoli hodnotu k mezi 1 a 100 – s výjimkou 42.

Řešení krychlové sumy pro 42

V září 2019 našli vědci využívající kombinovanou sílu půl milionu domácích počítačů po celém světě nejprve řešení pro 42. Rozsáhlý průlom podnítil tým k řešení ještě obtížnějšího a v některých ohledech univerzálnějšího problému: nalezení dalšího řešení pro 3. zápočet: Christine Daniloff, MIT

V září 2019 Booker a Sutherland pomocí kombinované síly půl milionu domácích počítačů po celém světě poprvé našli řešení pro 42. Rozšířený průlom podnítil tým jít ještě tvrději a v některých ohledech univerzálněji Problém: najít další řešení pro 3.

Booker a Sutherland nyní zveřejnili řešení pro 42 a 3 spolu s několika dalšími čísly přes 100 Postup Národní akademie věd.

Zvedněte rukavice

První dvě řešení rovnice X3. místo+Y.3. místo+S3. místo = 3 může být zřejmý každému studentovi střední školy algebry, kde x, yaz mohou být 1, 1 a 1 nebo 4, 4 a -5. Hledání třetího řešení však po celá desetiletí zmátlo teoretiky odborných čísel a v roce 1953 hádanka přiměla průkopnického matematika Louise Mordella položit otázku: Je vůbec možné vědět, zda existují další řešení pro 3?

„Bylo to, jako by Mordell odhodil rukavice,“ říká Sutherland. “Zájem o řešení této otázky nespočívá ani tak v řešení, ale v lepším pochopení toho, jak obtížné je řešení těchto rovnic.” Je měřítkem, podle kterého se můžeme měřit. “

Jak ubíhaly desítky let bez nových řešení pro 3, mnozí začali věřit, že žádné nelze najít. Ale krátce poté, co Booker a Sutherland našli odpověď na 42, Bookerova a Sutherlandova metoda přišla s překvapivě krátkou dobou s dalším řešením pro 3:

5699368212219623807203. místo + (−569936821113563493509)3. místo + (−472715493453327032)3. místo = 3

Tento objev byl přímou odpovědí na Mordellovu otázku: ano, je možné přijít s dalším řešením pro 3 a kromě toho zde je toto řešení. A možná obecněji řešení s gigantickými 21místnými čísly, která dosud nebylo možné prosít, naznačuje, že existuje více řešení pro 3 a další hodnoty k.

“V matematické a výpočetní komunitě byly vážné pochybnosti, protože.” [Mordell’s question] je velmi obtížné testovat, “říká Sutherland. “Čísla tak rychle rostou.” Nikdy nenajdete více než první řešení. Mohu však říci, že po nalezení tohoto řešení jsem přesvědčen, že jich je nekonečně více. “

Zvrat řešení

Aby našel řešení pro 42 a 3, tým začal s existujícím algoritmem nebo zkroucením rovnice součtu krychle do formy, o které se domnívali, že by bylo snazší ji vyřešit:

k – – S3. místo = X3. místo + Y.3. místo = (X + Y.) (X2 – – xy + Y.2)

Tento přístup poprvé navrhl matematik Roger Heath-Brown, který navrhl, že pro každé vhodné k by mělo existovat nekonečné množství řešení. Tým dále upravil algoritmus tak, že x + y představoval jako jediný parametr; Potom redukovali rovnici dělením obou stran d a ponecháním pouze zbytku – operace v matematice zvané „modulo d“ – a ponecháním zjednodušené reprezentace problému.

“Nyní si můžete představit k jako kořen krychle z, modulo d,” vysvětluje Sutherland. „Představte si tedy, že pracujete v aritmetickém systému, ve kterém vám záleží jen na zbytku modulo d a my se snažíme vypočítat krychlový kořen k.“

S touto štíhlejší verzí rovnice by vědci museli hledat pouze hodnoty d a z, které zaručují, že konečná řešení pro x, y a z budou nalezena pro k = 3. Prostor čísel, který by museli prohledávat, by byl nekonečně velký.

Vědci proto optimalizovali algoritmus pomocí matematických „technik prosévání“, aby drasticky zmenšili prostor možných řešení pro d.

„Jedná se o poměrně pokročilou teorii čísel, která využívá strukturu našich znalostí číselných polí, aby se vyhnula pohledu na místa, která nemusíme,“ říká Sutherland.

Globální úkol

Tým také vyvinul metody pro efektivní rozdělení vyhledávání algoritmu do stovek tisíc paralelních proudů zpracování. Pokud by byl algoritmus spuštěn pouze na jednom počítači, trvalo by stovky let, než by se našlo řešení pro k = 3. Rozdělením úlohy na miliony menších úkolů, z nichž každý vykonával samostatně na samostatném počítači, se týmu podařilo hledání dále urychlit.

V září 2019 provedli vědci svůj plán prostřednictvím Charity Engine, projektu, který lze stáhnout z libovolného počítače jako bezplatnou aplikaci a který je navržen tak, aby společně využíval jakýkoli výpočetní výkon zdarma k řešení složitých matematických problémů. V té době síť Charity Engine zahrnovala více než 400 000 počítačů po celém světě a Booker a Sutherland mohli spustit svůj algoritmus v síti jako test nové softwarové platformy Charity Engine.

„Za každý počítač v síti se říká:„ Vaším úkolem je hledat Ds, jejichž hlavní faktor spadá do tohoto rozsahu za jiných podmínek, “říká Sutherland.„ A museli jsme přijít na to, jak jsme práci dostali za přibližně milion úkolů, jejichž dokončení by každému trvalo asi tři hodiny. “

Globální mřížka velmi rychle vrátila první řešení na k = 42 a pouhé dva týdny později vědci potvrdili, že našli třetí řešení k = 3 – milník, který částečně označili tiskem rovnice na trička .

Skutečnost, že existuje třetí řešení pro k = 3, naznačuje, že původní domněnka Heath-Browna byla správná a že existuje nekonečně více řešení než toto nejnovější. Heath-Brown také předpovídá, že vzdálenost mezi řešeními bude s jejich vyhledáváními exponenciálně růst. Například namísto 21místných hodnot ve třetím řešení bude čtvrté řešení pro x, yaz pravděpodobně obsahovat čísla s ohromujícími 28 číslicemi.

„Pracovní vytížení každého nového řešení se zvyšuje o faktor více než 10 milionů. Další řešení pro 3 bude trvat 10 milionů na 400 000 počítačích a neexistuje žádná záruka, že to bude stačit, “říká Sutherland. “Nevím, jestli někdy budeme znát čtvrté řešení.” Ale myslím, že je to tam venku. “

Odkaz: „Na otázku od Mordella“ Andrewa R. Bookera a Andrewa V. Sutherlanda, 10. března 2021, Postup Národní akademie věd.
DOI: 10.1073 / pnas.2022377118

Tento výzkum byl částečně podporován Nadací Simons.

Related articles

Comments

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here

Share article

Latest articles

Líheň je otevřená, stanici zabírá 10 členů posádky

Nově přidaný personál stanice, který se skládal z 10 členů, se shromáždil v servisní jednotce Zvezda, aby uspořádali uvítací ceremoniál s rodinnými příslušníky a...

Chronické virové infekce mohou mít hluboký trvalý účinek na imunitu člověka, podobně jako stárnutí

Analýza topologie sítě funkce imunitního systému představující desítky integrovaných buněčných odpovědí, které jsou během odstraňování viru hepatitidy C u lidí obráceny. Zkoumané signální...

Byly odhaleny bizarní dýchací orgány 450 milionů let starých mořských živočichů

Zápočet: UCR Trilobité měli při dýchání jednu nohu Nová studie našla první důkazy o vysoce vyvinutých dýchacích orgánech u mořských živočichů starých 450 milionů let. ...

“Čmáranice světla” v reálném čase

Vědci z Tokijské metropolitní univerzity vyvinuli zjednodušený algoritmus pro převod volně nakreslených čar na standardním stolním procesoru na hologramy. Dramaticky snižují náklady na...

Mineralogie hluboké kůry Země pohání hotspoty pro domácí život

Tým DeMMO Field zleva doprava: Lily Mumper, Britney Kruger a Caitlin Cesar vzorky zlomenin z vrtné soupravy DeMMO. Kredit: © Matt Kapost Pod zeleným...

Newsletter

Subscribe to stay updated.